Prólogo XV
Capítulo 1. Sucesiones reales: límites 4
1.1. Algo sobre los números racionales 5
Los números racionales (compendio) 5
Propiedades de los números racionales 7
Carácter «incompleto» de Q 10
Sucesiones monótonas y acotadas de números racionales 11
1.2. El sistema de los números reales 12
Principales propiedades de R 14
Ejemplo: el número e 16
Extremos de las sucesiones monótonas y acotadas 17
Valor absoluto de un número real 20
Entornos 21
Los símbolos +cc y —c 22
1.3. Límites de sucesiones 23
Sucesiones reales 23
Sucesiones convergentes 24
Primeras propiedades de los limites 27
Infinitésimos 29
Sucesiones divergentes o «infinitos» 32
1.4. Cálculo y propiedades de los límites 34
Desigualdades entre sucesiones y límites 34
Propiedades aritméticas de los límites 37
Ejercicio (sobre el número e) 40
Casos de «indeterminación» en el cálculo de límites 41
Regla de Stolz; consecuencias 45
Ordenes de los infinitésimos y de los infinitos 49
Equivalencias entre infinitésimos y entre infinitos 51
Sobre las indeterminaciones en forma de potencia 55
1.5. Acerca de los axiomas de l 56
Definición axiomática de l 57
Algunas consecuencias de los axiomas 58
Representación decimal 60
Potencias y logaritmos 61
Cardinal de 111: potencia del continuo 62
1.6. Propiedades de completitud 63
Intervalos encajados 64
Pares de sucesiones monótonas convergentes 66
Ejemplo: el número e 67
Existencia de subsucesiones con limite 71
Límites de oscilación de las sucesiones 72
Caso de límite de oscilación único 76
Existencia del supremo y del ínfimo 77
Supremo e ínfimo de conjuntos no acotados 79
Límites superior e inferior 80
Sucesiones fundamentales. Condición de Cauchy 81
Sucesiones contractivas 85
Ejercicios y problemas 89
Enunciados 89
Soluciones 92
Capítulo 2. Límites y continuidad de funciones reales 96
2.1. Nociones generales sobre las funciones 96
Sobre el concepto de función 97
Sobre la función recíproca o inversa 99
Sobre las funciones reales de variable real 100
Sobre algunas funciones elementales 101
2.2. Límite de una función en un punto 107
Propiedades que se verifican «cerca de un punto» 108
Definiciones (equivalentes) de límite 109
Consecuencias de la definición de límite 115
Límites laterales 115
Límites de las funciones monótonas 117
Límites infinitos y límites en el infinito 118
Infinitésimos e infinitos 120
2.3. Cálculo y propiedades de los límites 121
Desigualdades entre funciones y límites 121
Propiedades aritméticas de los límites 124
Caso de indeterminación en el cálculo de límites 126
Órdenes de los infinitésimos y de los infinitos 127
Equivalencias entre infinitésimos y entre infinitos 129
2.4. Continuidad en un punto 131
Continuidad de una función en un punto 131
Primeras propiedades de la continuidad 135
Oscilación en un punto 135
Continuidad lateral 137
Operaciones aritméticas con funciones continuas 139
Continuidad de las funciones elementales 140
Composición de funciones continuas 142
2.5. Continuidad en un intervalo 144
Caracterizaciones de los intervalos . 144
Continuidad en un intervalo 147
Teoremas del valor intermedio 148
La continuidad conserva los intervalos 152
Conservación de los intervalos compactos; existencia de extremos 154
Funciones monótonas continuas; función inversa 156
2.6. Continuidad uniforme 161
Concepto de continuidad uniforme 163
Continuidad uniforme en un compacto 166
Una condición suficiente para la continuidad uniforme 169
Ejercicios y problemas 170
Enunciados 170
Soluciones 174
Capítulo 3. Funciones derivables 178
3.1. Derivadas 179
Concepto de derivada 179
Derivabilidad implica continuidad 181
Recta tangente 183
Derivadas de la suma, del producto y del cociente 185
Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) 187
Derivada de la función inversa 189
Derivadas de las funciones elementales 192
Derivadas sucesivas (de «orden superior») 195
Diferenciabilidad en un punto; diferencial 203
3.2. Teoremas del valor medio 207
Extremos relativos 208
Teorema de Rolle 209
Teorema de los incrementos finitos 211
Funciones monótonas derivables 217
Fórmula del valor medio de Cauchy 221
Regla de L'Hópital 224
3.3. Aproximación local de Taylor 231
Desarrollo limitado de Taylor 232
Desarrollos limitados deducidos de otros 241
Desarrollos limitados de algunas funciones elementales 244
Aplicación de los desarrollos limitados al cálculo de límites 249
Fórmula de Taylor (con resto de Lagrange) 251
Fórmula de Mac Laurin de algunas funciones elementales 256
Método de Newton para la resolución de ecuaciones 258
3.4. Estudio local de la gráfica de una función 262
Monotonía y extremos relativos 263
Posición de una curva respecto de su tangente 265
Ramas infinitas; asíntotas 269
Ejercicios y problemas 273
Enunciados 273
Soluciones 276
Capítulo 4. Integrales 282
4.1. Funciones integrables (Riemann) 283
Particiones de un intervalo compacto 283
Sumas inferiores y superiores 284
Integral inferior e integral superior 285
Funciones integrables. Integral 287
La integral como límite de sumas 292
Las monótonas y las continuas son funciones integrables 294
4.2. Propiedades de la integral 297
Criterio lineal de integrabilidad 297
Linealidad de la integral 299
Integrabilidad del producto y del cociente 301
Propiedad de monotonía de la integral 303
La integral del valor absoluto 305
Teorema de la media (integral) 306
Aditividad respecto del intervalo 308
43. El teorema fundamental del cálculo 310
Teorema fundamental del cálculo 310
Regla de Barrow 313
Integración por partes 316
Integración por sustitución (cambio de variable) 321
Forma integral del resto de la fórmula de Taylor 323
4.4. Búsqueda de primitivas 324
Primitivas e integral indefinida 325
Integrales inmediatas 326
Métodos generales de integración 329
Integración de las funciones racionales 335
Método de Hermite (para integrales racionales) 340
Integración de una función racional de seno y coseno 342
Integración de irracionales cuadráticos 348
Integrales binomias 352
4.5. La integral como límite de sumas 354
Caracterización «e: 8» de integrabilidad 355
La integral como límite de sumas de Darboux 357
Sumas de Riemann 359
Definición de integral utilizando sumas de Riemann 360
La integral como límite de sumas de Riemann 362
4.6. Integración numérica aproximada 365
Generalidades acerca de la integración aproximada 366
Regla de los trapecios 369
Fórmula de Simpson 372
4.7. Integrales impropias 376
Integrales sobre intervalos no compactos 377
Propiedades de las integrales impropias 380
Condición general de convergencia de Cauchy 384
Criterios de convergencia (caso de integrando positivo) 386
Criterios particulares de convergencia (integrando positivo) 390
Convergencia absoluta de integrales impropias 394
4.8. Aplicaciones geométricas de la integral 398
Cálculo de áreas 398
Cálculo de volúmenes (de revolución y otros) 403
Área de una superficie de revolución 407
Longitud de un arco de curva 410
Ejercicios y problemas 416
Enunciados 416
Soluciones 421
Capítulo 5. Series 428
5.1. Concepto de serie 429
Series de términos reales; carácter y suma 430
Dos series notables: geométricas y telescópicas 434
Criterio general de convergencia de Cauchy 437
Acerca de la asociatividad 441
5.2. Series de términos positivos; criterios de convergencia 443
Propiedades de las series de términos positivos 444
Criterios generales de comparación 448
Criterios particulares de comparación 451
Criterios automáticos de convergencia 454
Criterio de la integral 459
5.3. Series de términos positivos y negativos 461
Series alternadas 461
Convergencia absoluta 464
Estudio de la convergencia mediante las subseries positiva y negativa 467
Reordenaciones; series condicionales e incondicionales 471
Criterios de Dirichlet y de Abel 476
5.4. Sumación de series 479
Algunas series sumables elementalmente 479
Cálculo aproximado de la suma de una serie 485
Método de la mayorante (para aproximar la suma de una serie) 487
Métodos automáticos de aproximar la suma (para series de términos positivos) 489
Método de la integral (para aproximar la suma) 491
Suma aproximada de algunas series de términos cualesquiera 493
Algo acerca de cómo «acelerar la convergencia» 495
5.5. Series de potencias. Serie de Taylor 498
Series de potencias; radio de convergencia 500
Radios de convergencia de las series derivada y primitivas 504
Continuidad, derivada e integral de una serie de potencias 505
Unicidad del desarrollo en serie de potencias 510
Desarrollo de una función en serie de Taylor 512
Una condición suficiente para que exista desarrollo en serie 514
Desarrollos en serie de Taylor de funciones usuales 516
5.6. Sucesiones y series de funciones 521
Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual 522
Convergencia uniforme 524
Caracterizaciones de la convergencia uniforme 528
Criterio de Weierstrass (para convergencia uniforme de series) 531
Criterios de Dirichlet y de Abel (convergencia uniforme de series) 533 Acotación de las funciones límite (de una sucesión) y suma (de una serie) 536 Límite en un punto de las funciones límite (de una sucesión) y suma (de una serie) 537 Continuidad de las funciones limite (de una sucesión) y suma (de una serie) 539 Integrabilidad de las funciones límite (de una sucesión) y suma (de una serie) 541
Derivabilidad de las funciones límite (de una sucesión) y suma (de una serie) 544
Regularidad de la suma de una serie de potencias 547
Teoremas de Abel (para series de potencias) 548
Ejercicios y problemas 551
Enunciados 551
Soluciones 556
Apéndices 559
Apéndice 1. Los números complejos 559
El sistema de los números complejos 560
Unidad imaginaria y forma binómica 562
Conjugado de un número complejo 563
Módulo de un número complejo 564
Argumentos de los números complejos 567
Producto y potencia entera en forma módulo-argumental 568
Raíces de los números complejos 570
Exponencial compleja 572
Logaritmos y potencias complejas 573
Apéndice 2. Polinomios reales y complejos 575
Noción de polinomio; definiciones 575
Álgebra de polinomios 576
División entera de polinomios 579
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 581
Raíces de los polinomios 585
Función polinómica asociada a un polinomio 586
Factorización canónica de un polinomio 589
Apéndice 3. Fracciones racionales 593
El cuerpo de las fracciones racionales 593
Fracciones propias e impropias. Parte entera ....595
Funciones racionales 596
Descomposición en fracciones simples (caso complejo) 598
Descomposición en fracciones simples (caso real) 601
Alfabeto griego 605
Referencias bibliográficas 607
Índice 609
