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Cálculo infinitesimal de varias variables / Juan de Burgos Román.
AUTOR:
Juan de Burgos Román
ISBN:
9788448161088
EDITOR:
McGraw-Hill
IDIOMA:
spa
PÁGINAS:
IVX, 365
AÑO:
2008
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RESUMEN
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La presente obra va dirigida a aquellos estudiantes que, después de haber seguido un primer curso de cálculo infinitesimal, de una variable, deben continuar su formación en esta disciplina, ya sean alumnos de ciencias matemáticas o físicas, de ingeniería o arquitectura, de informática, de ciencias económicas o empresariales.El texto se articula entorno a las cuestiones fundamentales, que ocupan en él lugares destacados y se presentan de forma compendiada y precisa. A ellas se les anexan los complementos pertinentes: ejemplos, comentarios, generalizaciones y, por supuesto, abundantes ejercicios y problemas con solución. Se ha pretendido (¡ojalá se consiga!) que, al tiempo que se estudie aquí el cálculo infinitesimal, se adquiera soltura en el correcto uso de razonamiento deductivo y se aprenda el arte de usar lo conocido para resolver lo que se desconoce. |
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INDICE
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Capítulo 1. Topología, límites y continuidad 1.1. Nociones sobre la topología de Rp
El espacio euclídeo W
Bolas y entornos
Sucesiones convergentes
Condición de convergencia de Cauchy
Límites de oscilación. Teorema de Bolzano-Weierstrass
Límite infinito
Conjuntos abiertos y cerrados. Frontera
Conjuntos compactos de Rp
Puntos de acumulación de un conjunto
1.2. Límite de una función en un punto
Acerca de las funciones de varias variables
Concepto de límite de una función
Primeras propiedades de los límites
Propiedades aritméticas de los límites (en el caso real)
Límites reiterados
1.3. Funciones continuas
Continuidad (en un punto y en un conjunto)
Primeras propiedades de la continuidad
Combinaciones de funciones continuas
Imagen continua de un compacto.
Existencia de extremos
Imagen continua de un conexo.
Propiedad de Darboux
Continuidad uniforme
Continuidad uniforme en un compacto
Ejercicios y problemas
Enunciados
Soluciones
Capítulo 2. Diferenciación
2.1. Derivadas parciales
Derivada según un vector; derivadas parciales
Primeras propiedades de la derivación
2.2. Funciones diferenciables
Diferenciabilidad. Diferencial
Primeras propiedades de la diferenciabilidad
Derivadas de las funciones diferenciables
2.3. Propiedades de las funciones diferenciables
Teorema del valor medio
Diferenciabilidad de las funciones de clase €x
Derivabilidad y diferenciabilidad de una función compuesta
2.4. Derivadas sucesivas
Derivadas parciales de orden superior al primero
Permutabilidad del orden de derivación
Diferenciales de orden superior al primero
Fórmula y desarrollo limitado de Taylor
Derivadas sucesivas de una función compuesta
Ejercicios y problemas
Enunciados
Soluciones
Capítulo 3. Aplicaciones de la derivación
3.1. Existencia y regularidad de la función implícita
Teorema de la función implícita (caso de una sola ecuación)
Teorema de la función implícita (caso de un sistema de ecuaciones)
3.2. Existencia y regularidad de la función inversa
Inversa local de una función
Teorema de la función inversa
3.3. Dependencia funcional
Concepto de dependencia funcional
Condición necesaria de dependencia funcional
Condición suficiente de dependencia funcional (teorema del rango constante).
3.4. Cambios de variables
Técnica de cambio variable
3.5. Máximos y mínimos relativos
Extremos relativos (o locales)
Condición necesaria de extremo; puntos estacionarios
Condición suficiente de extremo: método de la diferencial segunda
3.6. Extremos relativos condicionados
Concepto de extremo relativo condicionado
Condición necesaria de extremo condicionado: función de Lagrange
Condición suficiente de extremo condicionado
Resumen: método de los multiplicadores de Lagrange
Ejercicios y problemas
Enunciados
Soluciones
Capítulo 4. Integrales múltiples (Riemann)
4.1. Integración en intervalos de W
Intervalos de W; particiones de un intervalo
Sumas de Darboux en un intervalo
Integrales inferior y superior en un intervalo
Funciones integrables en un intervalo. Integral
Propiedades aritméticas de la integral (en un intervalo)
Monotonía de la integral (en un intervalo)
Teorema de la media (en un intervalo)
Aditividad respecto del intervalo
Sumas de Riemann. Teorema de Riemann (en intervalos)
Condición «s: <5» de integrabilidad (en un intervalo)
Integración iterada (reducción a integrales simples)
4.2. Clases de funciones integrables en un intervalo
Conjuntos de contenido nulo
Continuidad salvo en conjunto de contenido nulo implica integrabilidad
Conjuntos de medida nula
Oscilación de una función en un punto
Caracterización de Lebesque de integrabilidad (en un intervalo)
4.3. Integración en conjuntos medibles
Conjuntos medibles (según Jordan)
Integrabilidad en un conjunto medible. Integral
Propiedades básicas de la integral (en un conjunto medible)
Aditividad de la integral (en conjuntos medibles)
Integración iterada (en conjuntos medibles)
Integración por cambio de variable
Algo acerca del área de una superficie
Ejercicios y problemas
Enunciados
Soluciones
Capítulo 5. Integrales impropias y paramétricas
5.1. Integrales múltiples impropias
Definición de integral impropia
Caracterización de la integrabilidad impropia
Caso de integrando positivo: criterios de convergencia
Convergencia y convergencia absoluta: equivalencia entre ellas
Propiedades de las integrales múltiples impropias
Algo sobre la integración (impropia) por iteración y por cambio de variable.
5.2. Integrales paramétricas
Integrales dependientes de parámetros
Continuidad de las integrales paramétricas
Derivación de las integrales paramétricas
Integración de las integrales paramétricas
Cálculo de integrales recurriendo a las integrales paramétricas
5.3. Integrales paramétricas impropias
Integrales paramétricas impropias: convergencia y convergencia uniforme.
Criterios de convergencia uniforme
Límites de las integrales paramétricas impropias
Continuidad de las integrales paramétricas impropias
Integración de las integrales impropias con un parámetro
Derivación de las integrales paramétricas impropias
La función gamma (T) de Euler
La función beta (B) de Euler
Ejercicios y problemas
Enunciados
Soluciones
Referencias bibliográficas
índice de materias
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