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RESUMEN
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En los diversos campos de la ciencia, la tecnología, la medicina, la economía, las ciencias sociales, etc., se describen a menudo fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos aporta un conocimiento mas profundo de aquellos fenómenos y, con frecuencia, permite predecir su evolución futura. Buscar y aplicar los instrumentos mas adecuados para encontrar soluciones a problemas basados en estos modelos constituye el objetivo principal de la matemática apli-cada. Se trata de un arte apasionante que, desgraciadamente, no siempre puede recurrir a los métodos analíticos clásicos por diversas razones: no se adecúan al modelo concreto, su aplicación resulta excesivamente laboriosa, su solución formal es tan compleja que hace imposible cualquier interpretación posterior, etc. En tales casos, son útiles las técnicas numéricas que, mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas. La notable tarea cal-culística que comporta la aplicación de la mayoría de estos métodos hace que su uso esté fuertemente ligado a la utilización de sistemas de cálculo automático. Así, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática, resul-taría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de técnicas numéricas en ámbitos cada vez más diversos. |
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INDICE
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PRÓLOGO ÍNDICE1 ERRORES
1.1 CONCEPTOS GENERALES
1.1.1 Definiciones
1.1.2 Fuentes de error Error en los datos de entrada Error de redondeo durante el cálculo Error de truncamiento del método empleado
1.2 ESTIMACIÓN Y ACOTACIÓN DE ERRORES
1.2.1 Propagación de los errores de los datos
1.2.2 Propagación de los errores en los cálculos
Análisis del error hacia atrás
Propagación de los errores imputados a los datos
1.2.3 Errores de truncamiento
1.3 TRATAMIENTO INTERVALAR Y ESTADÍSTICO
1.3.1 Análisis de intervalos
1.3.2 Análisis estadístico COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS
2 SISTEMAS LINEALES
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS
2.1.1 Tipos de matrices
2.1.2 Definiciones Sistemas de ecuaciones lineales Valores y vectores propios Normas vectoriales y normas matriciales
2.1.3 Propiedades importantes Matrices
Valores y vectores propios Normas vectoriales y matriciales2.2 SISTEMAS DE ECUACIONES
2.2.1 Introducción
2.2.2 Resolución de sistemas triangulares
2.2.3 Métodos gaussianos Método de Gauss Métodos LU y de Cholesky Método de Doolittle Método de Crout
2.2.4 Métodos de ortogonalización Método de ortogonalización modificado de Gram-Schmidt
Matrices de Householder
Método de ortogonalización de Householder
2.2.5 Cálculo de determinantes e inversas de matrices Determinantes Inversas
2.2.6 Análisis del error Propagación de los errores de los datos Acumulación de los errores de redondeo
2.2.7 Métodos iterativos Generalidades Método iterativo de Jacobi Método iterativo de Gauss-Seidel
2.2.8 Métodos iterativos de sobrerrelajación Convergencia de los métodos iterativos de Jacobi, de Gauss-Seidel y de sobrerrelajación
2.3 VALORES Y VECTORES PROPIOS
2.3.1 Introducción
2.3.2 Deflación de matrices Deflación de Hotteling Deflación de Wielandt Deflación de Householder
2.3.3 Métodos de la potencia Método de la potencia Método de la potencia desplazada Método de la potencia inversa Método de la potencia inversa desplazada
2.3.4 Métodos de Jacobi Mr todo de Jacobi Variantes del método de Jacobi
2.3.5 Métodos de reducción Método de Givens Método de Householder
2.3.6 Valores y vectores propios de matrices reducidas Métodos para matrices tridiagonales simétricas Método para matrices Hessenberg superior
2.3.7 Métodos de factorización Método iterativo LR Método iterativo QR Consideraciones generales
COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS
3 INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN DE FUNCIONES
3.1 INTERPOLACIÓN
3.1.1 Concepto de interpolación
3.1.2 Interpolación polinomial Planteamiento del problema Tipo de función interpoladora Existencia y unicidad del polinomio interpolador Error de interpolación
3.1.3 Métodos de cálculo del polinomio interpolador
Método de Lagrange
Métodos de Aitken y Neville
Método de las diferencias divididas de Newton
3.1.4 Interpolación de Taylor Planteamiento del problema Existencia, unicidad y error Desarrollo de Taylor
3.1.5 Interpolación de Hermite Planteamiento del problema Expresión del polinomio interpolador de Hermite
Interpolación de Hermite generalizada
Método de las diferencias divididas generalizadas
3.2 APROXIMACIÓN DE FUNCIONES
3.2.1 Introducción al problema general de aproximación El conjunto / de abscisas de aproximación Las funciones básicas Medida de la magnitud de las funciones error: normas fun-cionales
3.2.2 Aproximación por mínimos cuadrados Definición del problema Productos escalares asociados Caso particular e interpretación geométrica Ecuaciones normalesEjemplo: recta de regresión
3.2.3 Resolución de las ecuaciones normales Caso de aproximación discreta: ortogonalización de House-
holder y de Gram-Schmidt Caso de sistemas lineales sobredeterminados Caso de aproximación general: ortogonalización de Gram-Schmidt
Caso de aproximación polinomial: polinomios ortogonales Ejemplos de familias de polinomios ortogonales Caso de aproximación trigonométrica: ortogonalidad de los polinomios trigonométricos, interpolación trigono-métrica
3.2.4 Aproximación minimax Definición del problema Caracterización Polinomios de Chebichev Economización de Lanczos Interpolación de Chebichev
COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS
4 DERIVACIÓN, INTEGRACIÓN Y SUMACIÓN
4.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA
4.1.1 Introducción
4.1.2 Derivadas primeras Fórmulas de derivación interpolatoria y errores Ejemplos
4.1.3 Derivadas de orden superior Fórmulas de derivación interpolatoria Ejemplo Observaciones
4.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA
4.2.1 Introducción
4.2.2 Integración con abscisas dadas Fórmulas de integración interpolatoria Ejemplo: fórmula de Simpson Error de las fórmulas de integración interpolatoria Error de la fórmula de Simpson Fórmulas del rectángulo y del trapecio Fórmulas de Newton-Cotes Otras fórmulas de integración interpolatorias
4.2.3 Reglas (compuestas) de integración numérica Regla de los trapecios Regla de Simpson Fórmula de Euler-Maclaurin
4.2.4 Integración gaussiana Ejemplo motivador Fórmulas gaussianas Error de las fórmulas gaussianas Pesos de las fórmulas gaussianas Ejemplos de fórmulas gaussianas
4.3 SUMACIÓN NUMÉRICA
4.3.1 Introducción
4.3.2 Cotas de los restos de las series
4.3.3 Métodos de sumación numérica La fórmula de Euler-Maclaurin Método de comparación
4.4 EXTRAPOLACIÓN
4.4.1 Introducción
4.4.2 Método de Richardson de extrapolación repetida
4.5 CÁLCULO CON OPERADORES
4.5.1 Introducción Definiciones
4.5.2 Propiedades de los operadores
4.5.3 Aplicaciones del cálculo con operadores Interpolación Derivación numérica Integración numérica
COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS
. ECUACIONES NO LINEALES
5.1 ECUACIONES EN UNA VARIABLE
5.1.1 Introducción
5.1.2 Métodos iterativos de aproximación de soluciones Método de bisección Método de Newton Método de la secante Método de iteración simple
5.1.3 Orden de convergencia y constante asintótica del error
5.1.4 Aceleración de la convergencia Método de aceleración de Aitken Método de aceleración de Steffensen5.1.5 Clasificación de métodos iterativos Métodos de Taylor directos Métodos de Taylor inversos Métodos de interpolación directos Métodos de interpolación inversos
5.2 ECUACIONES POLINOMIALES
5.2.1 Introducción
5.2.2 Evaluación y deflación de polinomios
5.2.3 Acotación de ceros de polinomios Regla de Laguerre-Thibault Regla de Newton
5.2.4 Separación de ceros reales de polinomios Sucesiones de Sturm
5.2.5 Métodos numéricos para el cálculo de ceros de polinomios Método de Laguerre Método de Bernoulli Método del cociente-diferencia (Q-D) Método de Muller-Traub Método de Bairstow Método de Graeffe
5.3 SISTEMAS NO LINEALES
5.3.1 Introducción
5.3.2 Método de iteración simple en varias variables
5.3.3 Método de Newton en varias variables COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS
BIBLIOGRAFÍA
ÍNDICE ALFABÉTICO
ÍNDICE DE SÍMBOLOS
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