Universidad de La Rioja

Teoría de Galois
GUÍA DOCENTE    Curso 2017-18

Titulación:Grado en Matemáticas701G
Asignatura:Teoría de Galois411
Materia:Estructuras algebraicas
Módulo:Estructuras Algebraicas
Modalidad de enseñanza de la titulación:PresencialCarácter:Obligatoria
Curso:3Créditos ECTS:6,00Duración:Semestral
Horas presenciales:60,00Horas estimadas de trabajo autónomo:90,00
Idiomas en que se imparte la asignatura:Español
Idiomas del material de lectura o audiovisual:Inglés, Español

Departamentos responsables de la docencia

MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓNR111
Dirección:C/ Madre de Dios, 53Código postal:26006
Localidad:LogroñoProvincia:La Rioja
Teléfono:941299452Fax:941299460Correo electrónico:dpto.dmc@unirioja.es

Profesorado previsto

Profesor:Pérez Izquierdo, José MaríaResponsable de la asignatura
Teléfono:941299469Correo electrónico:jm.perez@unirioja.es
Despacho:3247Edificio:CENTRO CIENTÍFICO TECNOLÓGICOTutorías:Consultar

Descripción de los contenidos

- Extensiones de cuerpo: extensiones algebraicas y trascendentes. Cuerpo de descomposición, normalidad y separabilidad. El Teorema Fundamental de Correspondencia de Galois. Cuerpos finitos: clasificación y grupo de Galois. Extensiones Radicales. El Teorema de Galois de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales.

Requisitos previos de conocimientos y competencias para poder cursar con éxito la asignatura

Recomendados para poder superar la asignatura.

Se aconseja conocer las estructuras algebraicas de espacio vectorial,  anillo y grupo.
Asignaturas que proporcionan los conocimientos y competencias:

Contexto


Un problema crucial en álgebra ha sido resolver ecuaciones polinómicas. Pensando en la ecuación polinómica determinada por un polinomio en una variable, son conocidas desde hace 3.600 años (en la edad de piedra) las soluciones de la ecuación determinada por un polinomio de grado 2. Vienen dadas por la fórmula que todos conocemos. Hay también una fórmula para la de grado 3, pero hubo que esperar hasta el siglo XVI para obtenerla (se debe a Scipio di Ferro y a Nicolo Fontana, apodado Tartaglia ). Y también para la de grado 4, que se debe a Ludovico Ferrari, obtenida en el mismo siglo. No hay sin embargo una fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación polinómica en una variable de grado mayor que 4. Tras innumerables esfuerzos de grandes matemáticos, tales como Leibniz, Euler, Bézout, Lagrange, Ruffini, Abel o Kronecker, para encontrar una fórmula como las conocidas, o demostrar que tal fórmula no existe, fue Evariste Galois quien con 21 años resolvió en problema dando razón exacta de qué ecuaciones concretas tenían una fórmula y cuáles no, y por qué las ecuaciones generales a partir de la de grado 4 no tenían solución. Su teoría estuvo perdida en el olvido hasta que Liouville la rescató den 1843.
Algo muy notable de ella es que dio lugar a la aparición de dos campos del álgebra hoy en día considerados básicos: la teoría de grupos y la de cuerpos. Sus implicaciones son muy numerosas. Los cuerpos finitos, por ejemplo, son fundamentales en teoría de la información, tanto en la teoría de códigos como en criptografía.
En la formación de un matemático está considerado como algo indispensable en su formación el conocer los conceptos de algebraico y trascendente y también un mínimo conocimiento de la estructura de cuerpo.

Competencias

Competencias generales

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos. 
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

Competencias específicas

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.

Resultados del aprendizaje

- Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos y trascendentes. Establecer la correspondencia entre el grupo de Galois de un polinomio y las subextensiones de su cuerpo de descomposición. Determinar la estructura de cuerpos finitos.

Temario

CUERPOS:
1) Extensiones y extensiones algebraicas de cuerpos.
2) Cuerpos finitos.
TEORÍA DE GALOIS:
1) El Teorema Fundamental de Galois.
2) El Teorema de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales.
3) Cuerpos ciclotómicos.

Bibliografía

Tipo:Título
BásicaContemporary Abstract Algebra Absys Biba
BásicaIntroducción al álgebra. Volumen 2. Absys Biba
BásicaFields and Galois Theory
ComplementariaAbstract algebra Absys Biba
ComplementariaAlgebra: Groups, Rings and Fields. Absys Biba
Complementaria Field extensions and Galois theory Absys Biba
Recursos en Internet
Página web del autor y de recursos complementarios al libro de Gallian de la bibliografía básica
      http://www.d.umn.edu/~gallian
Pagina web de Fernando Chamizo (profesor de la UAM). Contiene apuntes relacionados con la asignatura
      http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/
Página web de J.S. Milne y de recursos complementarios al libro Fields and Galois Theory (pdf del libro descargable)
      http://www.jmilne.org/

Metodología

Modalidades organizativas

Clases teóricas
Seminarios y talleres
Estudio y trabajo autónomo individual

Métodos de enseñanza

Método expositivo - Lección magistral
Resolución de ejercicios y problemas
Aprendizaje basado en problemas

Organización

Actividades presencialesTamaño de grupoHoras
Clases prácticas de aulaReducido20,00
Clases teóricasGrande40,00
Total de horas presenciales60,00
Trabajo autónomo del estudianteHoras
Estudio autónomo individual o en grupo60,00
Resolución individual de ejercicios, cuestiones u otros trabajos, actividades en biblioteca o simi30,00
Total de horas de trabajo autónomo90,00
Total de horas150,00

Evaluación

Sistemas de evaluaciónRecuperableNo Recup.
Pruebas de ejecución de tareas reales y/o simuladas 10%
Pruebas escritas90%
Total100%

Comentarios

Las pruebas escritas consistirán en dos exámenes que se realizarán durante el cuatrimestre. El primero será respecto a la parte de Cuerpos y valdrá 35 puntos. El segundo será de la parte de Teoría de Galois y valdrá 55 puntos. Ambos serán eliminatorios de la materia de cara al examen final (el alumno puede optar por presentarse a la materia superada para mejorar calificación).
La valoración del trabajo realizado en las clases y de tareas propuestas será de 10 puntos.
Para los estudiantes a tiempo parcial (reconocidos como tales por la Universidad), las actividades de evaluación no recuperable podrán ser sustituidas por otras, a especificar en cada caso. Esta posibilidad se habilitará siempre y cuando la causa que le impida la realización de la actividad de evaluación programada sea la que ha llevado al reconocimiento de la dedicación a tiempo parcial.

Criterios críticos para superar la asignatura

31/01/18 12:07:23 - G 2017-18 - 701G - 411