Geometrías no euclídeas
GUÍA DOCENTE    Curso 2017-18

I.- EL DESCUBRIMIENTO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
II.- PLANO EUCLÍDEO Y SU AMPLIACIÓN PROYECTIVA
III.- PLANO INVERSIVO. AMPLIACIÓN DEL PLANO EUCLÍDEO POR UN PUNTO
IV.- PLANO PROYECTIVO Y SECCIONES CÓNICAS
V.- FUNDAMENTACIÓN AXIOMÁTICA PARA LA GEOMETRÍA PLANA
VI.- EL PLANO HIPERBÓLICO
VII.- LA ESFERA DE RADIO IMAGINARIO

Se aconseja que el alumno tenga conocimientos básicos sobre:

- Lógica (competencia en deducción).

- Matemática discreta (competencia en el manejo de conjuntos, operaciones y aplicaciones entre ellos).

- Geometría afín y euclídea (competencia suficiente en el manejo de técnicas matemáticas para describir nociones como paralelismo y medida de segmentos y ángulos).

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.

- Conocerá sistemas axiomáticos para la geometría y sus propiedades
- Manejará con habilidad el plano y espacio proyectivos reales y los teoremas clásicos sobre sus elementos
- Conocerá las transformaciones proyectivas como herramientas para la resolución de problemas de incidencia, paralelismo, cónicas, etc.
- Manejará el plano inversivo de Gauss y transformaciones como la inversión para la resolución de problemas geométricos
- Conocerá las propiedades comunes de las geometrías elíptica, parabólica e hiperbólica
- Aprenderá el papel fundamental del axioma de las paralelas (o equivalentes) como punto de bifurcación entre la geometría euclídea e hiperbólica
- Conocerá la construcción de los números reales a partir de los axiomas geométricos.
- Entenderá los orígenes geométricos de la teoría de la medida y del concepto del límite.
- Conocerá la descripción de la función exponencial como consecuencia de los axiomas geométricos
- Manejará los elementos básicos de las trigonometrías euclídea, hiperbólica y esférica
- Conocerá los modelos de Klein y Poincaré para la geometría hiperbólica
- Habrá adquirido una visión histórica de las matemáticas y las relaciones entre geometría y otras disciplinas como álgebra, análisis matemático, topología, teoría de números, lógica, etc
- Adquirirá una formación básica pero muy sólida para poder abordar posteriores retos de formación matemática: Los conocimientos y técnicas adquiridos son pilares fundamentales para posteriores estudios en Geometría Algebráica, Geometría Riemannniana, Superficies de Riemann, Topología Algebraica, Topología Geométrica y otras teorías geométrico-topológicas no incluidas en los estudios de Grado en Matemáticas de la Universidad de La Rioja

En esta materia se dará un visión panorámica básica de las diferentes geometrías planas no euclídeas. Teniendo en cuenta el carácter optativo de la asignatura y la formación que tienen los matirculados en el cuarto curso del grado de matemáticas, se dejará al alumno el desarrollo de algunos de los items que se detallan en el programa.

1.1.- Los Elementos de Euclides

1.2.- Historia del Postulado de las Paralelas

1.3.- Descubrimiento de las geometrías no euclídeas

2.1.- Propiedades básicas. Triángulos y circunferencias.

2.2.- Razón simple y razón doble. Cuaternas armónicas.

2.3.- Teoremas clásicos de Menelao, de Ceva, de Desargues y del Hexagrama místico de Pascal

2.4.- Transformaciones del plano euclídeo. Traslaciones, rotaciones, simetrías y homotecias

3.1.- El plano inversivo de Gauss

3.2.- Transformaciones del plano inversivo. La inversión

3.4.- Aplicaciones de la inversión. Teoremas de Tolomeo, Antiguo de Pappus y de Feuerbach.

4.1.- Homografías. Alineaciones y haces homográficos

4.2.- Polos y polares respecto a una circunferencia. Puntos o rectas conjugados

4.3.- El principio de dualidad. Teoremas de Brianchon y de la Mariposa

4.4.- Perspectividades y proyectividades

4.5.- Secciones cónicas. Cónicas propias: elipse, parábola, hipérbola. Polos y polares respecto a una cónica. Teoremas generales de Brianchon, de la Mariposa, de Pascal y de Chasles.

4.6.- El Teorema de Chasles-Steiner para la caracterización de cónicas propias

5.1.- Sistemas axiomáticos. Modelos. Axiomas de Hilbert

5.2.- Axiomas de incidencia. Propiedades de paralelismo: Elíptico, Parabólico o Euclídeo, e Hiperbólico. Planos afines y planos proyectivos. Relación entre ellos y modelos

5.3.- Axiomas de orden, congruencia y continuidad. Geometría neutral. Puntos medios y bisectrices. Medidas de segmentos y ángulos. Cuadriláteros de Saccheri y Lambert. Suma de los ángulos de un tirangulo

5.4.- El axioma de las paralelas: Geometría euclídea y geometría hiperbólica

6.1.- Exploradores y descubridores de la geometría hiperbólica. Gauss, Bolyai y Lobachevski

6.2.- Nociones y propiedades hiperbólicas básicas. Rayos paralelos límites. Ángulo de paralelismo. Congruencia de triángulos. Defecto y área de un tirangulo

6.3.- Modelos euclídeos para la geometría hiperbólica: Disco y semiplano de Poincaré.y disco de Beltrami-Klein. Isomorfismos entre modelos. La seudoesfera

6.4.- Relaciones con la esfera de radio imaginario

La evaluación continua (20%) se realizará mediante técnicas de observación (10%) y los sistemas de evaluación de pruebas escritas (10%).

El materíal didáctico se encontrará disponible en el aula virtual para todos los alumnos matriculados en esta asignatura.

Para superar la asignatura la calificación final debe ser superior o igual a 5