Análisis complejo
GUÍA DOCENTE    Curso 2022-23

- Números complejos y funciones de variable compleja.

- Funciones holormorfas. Derivabilidad de funciones de variable compleja.

- Funciones analíticas. Series de potencias. Principio de prolongación analítica.

- Funciones elementales de variable compleja.

- Integración compleja. Teoría de Cauchy.

- Ceros y singularidades. Series de Laurent.

- Teorema de los residuos y aplicaciones.

Se aconseja conocer técnicas básicas de análisis matemático en un variable real y derivación e integración de funciones de varias variables.

En asignaturas previas (Cálculo Infinitesimal, Álgebra Lineal, Ecuaciones Diferenciales, Estructuras Algebraicas) han aparecido ya los números complejos, fundamentalmente en el contexto algebraico, el que dio origen a su concepción en la época del Renacimiento (motivada por la resolución de ecuaciones polinómicas).

La relevancia de los números complejos en el Análisis Matemático se hizo patente mucho tiempo después, en los siglos XVIII y XIX. En la asignatura de Análisis Complejo se estudian los fundamentos de la Teoría de Funciones de una Variable Compleja.

Si combinamos la aritmética de los números complejos con su interpretación geométrica (como los puntos del plano), y estudiamos las funciones de una variable compleja y valores complejos de forma análoga a como sabemos en el caso real (a partir de la definición de derivada, estudiada ya en Cálculo Infinitesimal) resulta una teoría de funciones que en ciertos sentidos es más simple y más bonita que la de variable real.

En el desarrollo de la asignatura es básico comprender el significado que adquieren las series de potencias (ya estudiadas con valores reales), con lo que de paso se clarifica el conocimiento de las funciones trigonométricas, logarítmica y exponencial. El objetivo final del programa es sin embargo el estudio de la integral a lo largo de curvas, con los teoremas de Cauchy y de los residuos, para entender cómo el esfuerzo de ampliar horizontes y considerar valores complejos permite resolver problemas de Análisis Real que de otra forma no sabemos abordar.

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.

CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.

CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.

CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.

CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.

- Habilidad en el trabajo con números complejos.

- Conocer la derivación compleja y las funciones holomorfas.

- Conocer las series de potencias, las series de Laurent y las funciones analíticas.

- Conocer la integración compleja y la teoría de Cauchy.

- Aplicar el teorema de los residuos al cálculo de integrales.

1. Números complejos:
1.1. Números complejos.
1.2. Topología en C.
2. Funciones complejas. Continuidad y derivabilidad:
2.1. Funciones complejas de variable compleja. Límites y continuidad.

2.2. Derivabilidad.
2.3. Condiciones de Cauchy-Riemann.
2.4. Funciones holomorfas.
2.5. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.
3. Series de potencias. Funciones analíticas:
3.1. Series de potencias.
3.2. Funciones analíticas.
3.3. Principio de prolongación analítica.
4. Funciones elementales:
4.1. Función exponencial.
4.2. Funciones seno y coseno.
4.3. Funciones hiperbólicas.
4.4. Determinaciones del argumento y del logaritmo.
4.5. Funciones potenciales y exponenciales.
4.6. Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas.
5. Integración sobre caminos:
5.1. Caminos.
5.2. Integración sobre caminos.
5.3. Primitivas.
5.4. Construcción de funciones analíticas.
5.5. Logaritmo en caminos.

5.6. Índice de un punto respecto a un camino cerrado

6. Teoría local y global de Cauchy:
6.1. Teorema y fórmula local de Cauchy.
6.2. Consecuencias de la fórmula de Cauchy.
6.3. Teoría global de Cauchy.
6.4. Conexión simple.
7. Ceros y singularidades. Series de Laurent.
7.1. Ceros de una función holomorfa.
7.2. Singularidades aisladas.
7.3. Funciones meromorfas.
7.4. Singularidades en el infinito.
7.5. Series de Laurent.
8. Teorema de los residuos y aplicaciones:
8.1. Residuos.
8.2. El teorema de los residuos.
8.3. Aplicaciones del teorema de los residuos al cálculo de integrales.

8.4. Aplicación del teorema de los residuos a la suma de series.

8.5. Aplicación del teorema de los residuos a la localización de ceros.

8.6. Valores locales de una función.
8.7. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa.