Geometría y topología de superficies
GUÍA DOCENTE    Curso 2022-23

1. Propiedades de compacidad
2. Propiedades de conexión
3. Triangulación de superficies
4. Propiedades geométricas intrínsecas de superficies

Se aconseja conocer los conocimientos básicos de topología, curvas y superficies

La asignatura GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE SUPERFICIES completa los conocimientos básicos en geometría diferencial y topología adquiridos por los alumnos en las asignaturas previas de Curvas y Superficies y Topología general. Aquí se estudian las importantes propiedades topológicas de compacidad y conexión para espacios. En el caso particular de las superficies, además de analizar su topología y geometría, se estudian en ellas estructuras celulares, como las triangulaciones, y la característica de Euler. También se analizan diversos aspectos sobre las superficies en el contexto de la geometría diferencial.

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.

1. El conocimiento de todas las propiedades topológicas básicas incluyendo las de compacidad y conexión.
2. La capacidad para utilizar estructuras celulares de superficies. En particular, las técnicas de cortar y pegar y triangulaciones.
3. El conocimiento de algunas técnicas combinatorias en estructuras celulares.
4. La identificación y clasificación topológica de superficies.
5. El conocimiento de propiedades geométricas notables de las superficies.

1.1.- Espacios compactos.

1.2.- Compacidad en espacios métricos.

1.3.- Espacios localmente compactos.

1.4.- Compactificaciones.

2.1.- Espacios conexos.

2.2.- Espacios arco-conexos.

2.3.- Conexión y arco-conexión locales.

2.4.- Conexión en Rⁿ.
2.5.- Propiedades básicas de las variedades topológicas.

4.1.- Conjuntos semisimpliciales. Triangulaciones.

4.2.- Complejos celulares. Característica de Euler.

4.3.- Superficies semisimpliciales y orientaciones.

4.4.- Representaciones canónicas de superficies compactas y sumas conexas.

5.1.- El Teorema de clasificación de las superficies compactas.

EVALUACIÓN: Se realizará una prueba escrita a lo largo del curso (PEcurso) y un Examen Final teórico-práctico sobre toda la materia de la asignatura al final del semestre (PEfinal). La CALIFICACIÓN FINAL será la nota máxima entre: (0.2 (PEcurso)+ 0.8 (PEfinal)) y (PEfinal).

Para superar la asignatura es necesario obtener una calificación final igual o mayor que 5