Análisis real y funcional
GUÍA DOCENTE Curso 2022-23
| Titulación: | Grado en Matemáticas | 701G |
| Asignatura: | Análisis real y funcional | 417 |
| Materia: | Análisis Matemático |
| Módulo: | Análisis Matemático |
| Modalidad de enseñanza de la titulación: | Presencial | Carácter: | Obligatoria |
| Curso: | 4 | Créditos ECTS: | 6,00 | Duración: | Semestral (Primer Semestre) |
| Horas presenciales: | 60,00 | Horas estimadas de trabajo autónomo: | 90,00 |
| Idiomas en que se imparte la asignatura: | Español |
| Idiomas del material de lectura o audiovisual: | Inglés, Francés, Español |
Departamentos responsables de la docencia
| MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN | R111 |
| Dirección: | C/ Madre de Dios, 53 | Código postal: | 26006 |
| Localidad: | Logroño | Provincia: | La Rioja |
| Teléfono: | 941299452 | Fax: | 941299460 | Correo electrónico: | dpto.dmc@unirioja.es |
Profesorado previsto
| Profesor: | Bello Hernández, Manuel | Responsable de la asignatura |
| Teléfono: | 941299463 | Correo electrónico: | mbello@unirioja.es |
| Despacho: | 3221 | Edificio: | CENTRO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO | Tutorías: | Consultar |
Descripción de los contenidos
- Integración respecto de una medida abstracta.
- Teoremas de convergencia.
- Medidas de Borel – Stieltjes. Medida de Lebesgue.
- Medidas producto. Teorema de Fubini.
- Espacios de Hilbert. Bases.
- Espacios Lp. Desigualdades de Hölder y Minkowski. Completitud.
- Series de Fourier en L2.
Requisitos previos de conocimientos y competencias para poder cursar con éxito la asignatura
Recomendados para poder superar la asignatura.
Se aconseja conocer herramientas del cálculo diferencial e integral en una y varias variables reales
Asignaturas que proporcionan los conocimientos y competencias:
- Análisis de una variable real
- Cálculo diferencial en varias variables
- Cálculo integral en varias variables
Contexto
Está situada en el primer semestre del cuarto curso del Grado en Matemáticas, y es la última asignatura obligatoria de Análisis Matemático dentro del Grado. En ella, comenzamos a ver el Análisis Matemático desde un modo abstracto.
Competencias
Competencias generales
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
Competencias específicas
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste
Resultados del aprendizaje
- Comprender la noción abstracta de medir conjuntos y su aplicación en diferentes ambientes (espacios de probabilidad, medida de Lebesgue, medidas de Stieltjes, etc.).
- Aplicar los teoremas de paso al límite y de derivación bajo signo integral.
- Usar la integración para resolver problemas de probabilidad.
- Conocer propiedades de espacios Lp desde el punto de vista del Análisis Funcional
Temario
I. Integración abstracta
- Medidas positivas sobre una sigma álgebra.
- Integración de funciones simples, positivas y con signo.
- Teoremas de paso al límite.
- Medidas producto y teorema de Fubini.
II. Espacios de funciones
- Espacios normados y completos.
- Espacios de funciones integrables.
- Aproximación por funciones continuas.
III. Espacios de Hilbert
- Productos escalares.
- Proyección ortogonal.
- Base ortonormal.
- Identidad de Parseval.
- Desarrollos de Fourier.
IV. Operadores en espacios de Hilbert
- Propiedades básicas y ejemplos.
- Operador adjunto.
- Proyecciones e idenpotentes.
- Operadores compactos.
- Teorema espectral.
Bibliografía
| Tipo: | Título |
| Básica | Real analysis / H. L. Royden Absys |
| Básica | A guide to advanced analysis / G. B. Folland Absys |
| Básica | Real and functional analysis / S. Lang Absys |
| Básica | Análisis funcional / W. Rudin
Absys |
| Básica | Análisis real y complejo / W. Rudin Absys |
| Básica | Mesure et integration : maîtrises de mathematiques : exercises et problèmes avec solutions / O. Arino, C. Delode, J. Genet Absys |
| Básica | Real and abstract analysis : a modern treatment of the theory of functions of a real variable / E. Hewitt, K. Stromberg Absys |
| Básica | The elements of Integration and lebesgue measure / R. G. Bartle Absys |
| Básica | Fourier analysis and its applications/ G. B. Folland. Absys Biba |
| Básica | Análisis funcional : teoría y aplicaciones / H. Brèzis Absys Biba |
| Básica | A Course in Functional Analysis/ Conway, John B. Absys |
| Básica | Basic Operator Theory/ Israel Gohberg, Seymour Goldberg.
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Metodología
Modalidades organizativas
Clases teóricas
Seminarios y talleres
Estudio y trabajo autónomo individual
Métodos de enseñanza
Método expositivo - Lección magistral
Resolución de ejercicios y problemas
Aprendizaje basado en problemas
Organización
| Actividades presenciales | Tamaño de grupo | Horas |
| Clases prácticas de aula | Reducido | 20,00 |
| Clases teóricas | Grande | 40,00 |
| Total de horas presenciales | 60,00 |
| Trabajo autónomo del estudiante | Horas |
| Estudio autónomo individual o en grupo | 45,00 |
| Resolución individual de ejercicios, cuestiones u otros trabajos, actidades en biblioteca o similar | 45,00 |
| Total de horas de trabajo autónomo | 90,00 |
Evaluación
| Sistemas de evaluación | Recuperable | No Recup. |
| Pruebas escritas | 100% | |
| Total | 100% |
Comentarios
La evaluación mediante el sistema de evaluación "pruebas escritas" consistirá en la realización de dos pruebas, una durante el periodo de clases, con un peso de un 10% sobre el total de la asignatura, y otra en las fechas oficiales de exámenes de la convocatoria ordinaria publicada en la web de la Facultad de Ciencia y Tecnología, con un peso de un 90% sobre el total de la asignatura.
La recuperación de la evaluación mediante el sistema de evaluación "pruebas escritas" se realizará en las fechas oficiales de exámenes de la convocatoria extraordinaria publicadas en la web de la Facultad de Ciencia y Tecnología.
El material didáctico (apuntes, ejercicios prácticos, cuestiones, actividades, etc.) se encontrará disponible en el aula virtual para todos los alumnos matriculados en esta asignatura.
15/03/2023 10:26:40 - G 2022-23 - 701G - 417
