Teoría de números y criptografía
GUÍA DOCENTE    Curso 2022-23

- Aproximación de un número real por racionales, fracciones continuas. Irracionalidad y trascendencia.
- Congruencias lineales y no lineales, residuos cuadráticos. Ecuaciones diofánticas.
- Funciones aritméticas y multiplicativas.
- Distribución de números primos.
- Criptografía clásica. El sistema RSA y la factorización. Otros criptosistemas de clave pública. Sistemas con firma. Funciones de una dirección. Distribución de claves y acuerdo de claves. Criptografía asimétrica.

Ésta es una preciosa asignatura dentro del Grado en Matemáticas. Aunque es una asignatura optativa (y, de hecho, no existe en los planes de estudio de muchas titulaciones de matemáticas, algo achacable únicamente a las estúpidas luchas entre áreas de conocimiento oficialmente reconocidas), es una pena que cualquier matemático se pierda el tipo de conocimientos que en una asignatura como esta se imparten.

Por una parte, en la asignatura se aborda la teoría de números, que ha sido uno de los motores principales de las matemáticas durante más de dos milenios. Por otra parte, también se estudia criptografía, una moderna aplicación de la teoría de números que es causa de que, en el contexto del mundo tecnológico actual, la teoría de números tenga una importancia práctica indiscutible.

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 6. Relacionar el conocimiento especializado de Matemáticas con el conocimiento general en el que se inserta y con las herramientas que utiliza cuando se aplica en diversas opciones profesionales, especialmente en el marco de las TIC.
CG 7. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos de la realidad observada y de otros ámbitos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, comprobando la aplicabilidad de las Matemáticas.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
CE 9. Habilidades para comunicar las Matemática, sus ideas, problemas y métodos, a públicos con diverso grado de especialización.

- Comprender distintos aspectos de la teoría de números analítica y algebraica, así como sus aplicaciones para resolver diferentes problemas en matemáticas.

- Conocer las aplicaciones de la teoría de números en la transmisión de información de manera segura. Entender el desarrollo de la criptografía desde sus comienzos hasta ahora, y los diversos objetivos alcanzados y problemas que surgen.

Las actividades formativas podrán ser modificadas si fuese precisa su adaptación a la modalidad no presencial o semipresencial como respuesta a las medidas, recomendaciones y/o restricciones aprobadas por las autoridades competentes en función de la situación sanitaria real o prevista.

A cada alumno se le propondrán varios problemas para resolver de manera individual. Exponiendo las soluciones en clase (evaluación continua que en este formulario aparece descrita como "Pruebas de ejecución de tareas reales y/o simulada"), se podrá sacar un 5. Para obtener más nota, habrá que acudir al examen final, que no es obligatorio.

La nota final de la asignatura se calculará como sigue:

Obsérvese que N(5,y) es superior a 5 para todo y (incluido y=0), luego el examen final no es obligatorio.

Además N(x,10) = 10 para cualquier x, luego incluso renunciando a la evaluación continua se puede obtener un 10 en la asignatura.

A los alumnos a tiempo parcial que no acudan a clase se les evaluará con la misma fórmula N(x,y) con x=0.