- Conocerá sistemas axiomáticos para la geometría y sus propiedades
- Manejará con habilidad el plano y espacio proyectivos reales y los teoremas clásicos sobre sus elementos
- Conocerá las transformaciones proyectivas como herramientas para la resolución de problemas de incidencia, paralelismo, cónicas, etc.
- Manejará el plano inversivo de Gauss y transformaciones como la inversión para la resolución de problemas geométricos
- Conocerá las propiedades comunes de las geometrías elíptica, parabólica e hiperbólica
- Aprenderá el papel fundamental del axioma de las paralelas (o equivalentes) como punto de bifurcación entre la geometría euclídea e hiperbólica
- Conocerá la construcción de los números reales a partir de los axiomas geométricos.
- Entenderá los orígenes geométricos de la teoría de la medida y del concepto del límite.
- Conocerá la descripción de la función exponencial como consecuencia de los axiomas geométricos
- Manejará los elementos básicos de las trigonometrías euclídea, hiperbólica y esférica
- Conocerá los modelos de Klein y Poincaré para la geometría hiperbólica
- Habrá adquirido una visión histórica de las matemáticas y las relaciones entre geometría y otras disciplinas como álgebra, análisis matemático, topología, teoría de números, lógica, etc
- Adquirirá una formación básica pero muy sólida para poder abordar posteriores retos de formación matemática: Los conocimientos y técnicas adquiridos son pilares fundamentales para posteriores estudios en Geometría Algebráica, Geometría Riemannniana, Superficies de Riemann, Topología Algebraica, Topología Geométrica y otras teorías geométrico-topológicas no incluidas en los estudios de Grado en Matemáticas de la Universidad de La Rioja
En esta materia se dará una visión panorámica básica de las diferentes geometrías planas no euclídeas. Teniendo en cuenta el carácter optativo de la asignatura y la formación que tienen los matirculados en el cuarto curso del grado de matemáticas, se dejará al alumno el desarrollo de algunos de los items que se detallan en el programa.
CAPÍTULO I.- EL DESCUBRIMIENTO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
1.1.- Los Elementos de Euclides
1.2.- Historia del Postulado de las Paralelas
1.3.- Descubrimiento de las geometrías no euclídeas
CAPÍTULO II.- PLANO EUCLÍDEO
2.1.- Propiedades básicas. Triángulos y circunferencias.
2.2.- Razón simple y razón doble. Cuaternas armónicas.
2.3.- Teoremas clásicos de Menelao, de Ceva, de Desargues y del Hexagrama místico de Pascal
2.4.- Transformaciones del plano euclídeo. Traslaciones, rotaciones, simetrías y homotecias
CAPÍTULO III.- PLANO INVERSIVO. AMPLIACIÓN DEL PLANO EUCLÍDEO POR UN PUNTO
3.1.- El plano inversivo de Gauss
3.2.- Transformaciones del plano inversivo. La inversión
3.4.- Aplicaciones de la inversión. Teoremas de Tolomeo, Antiguo de Pappus y de Feuerbach.
CAPÍTULO IV.- PLANO PROYECTIVO Y SECCIONES CÓNICAS
4.1.- Homografías. Alineaciones y haces homográficos
4.2.- Polos y polares respecto a una circunferencia. Puntos o rectas conjugados
4.3.- El principio de dualidad. Teoremas de Brianchon y de la Mariposa
4.4.- Perspectividades y proyectividades
4.5.- Secciones cónicas. Cónicas propias: elipse, parábola, hipérbola. Polos y polares respecto a una cónica. Teoremas generales de Brianchon, de la Mariposa, de Pascal y de Chasles.
4.6.- El Teorema de Chasles-Steiner para la caracterización de cónicas propias
CAPÍTULO V.- FUNDAMENTACIÓN AXIOMÁTICA PARA LA GEOMETRÍA PLANA
5.1.- Sistemas axiomáticos. Modelos. Axiomas de Hilbert
5.2.- Axiomas de incidencia. Propiedades de paralelismo: Elíptico, Parabólico o Euclídeo, e Hiperbólico. Planos afines y planos proyectivos. Relación entre ellos y modelos
5.3.- Axiomas de orden, congruencia y continuidad. Geometría neutral. Puntos medios y bisectrices. Medidas de segmentos y ángulos. Cuadriláteros de Saccheri y Lambert. Suma de los ángulos de un tirangulo
5.4.- El axioma de las paralelas: Geometría euclídea y geometría hiperbólica
CAPÍTULO VI.- EL PLANO HIPERBÓLICO
6.1.- Exploradores y descubridores de la geometría hiperbólica. Gauss, Bolyai y Lobachevski
6.2.- Nociones y propiedades hiperbólicas básicas. Rayos paralelos límites. Ángulo de paralelismo. Congruencia de triángulos. Defecto y área de un tirangulo
6.3.- Modelos euclídeos para la geometría hiperbólica: Disco y semiplano de Poincaré.y disco de Beltrami-Klein. Isomorfismos entre modelos. La seudoesfera
6.4.- Relaciones con la esfera de radio imaginario
Tipo: | Título |
Básica | R. Bonola,Non-euclidean Geometry,
Dover Publications, Inc., New York, 1958. |
Básica | H.S. M. Coxeter,Fundamentos de Geometría.
De Limusa-Wiley, Mexico, 1971. |
Básica | Euclides, ``Elementos, Libros I-IV, V-IX,X-XII '', Introducción de Luis Vega. Traducción de María Luisa Puertas Castaños. Editorial Gredos, Biblioteca Clásica Gredos, vol. 191 (1991), 155 (1994) y 228 (1996).
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Básica | M.J. Greenberg, Euclidean and non-euclidean geometries,
Freeman, San Francisco, 1980.
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Básica | L.J. Hernández, E. M. Letkova, M.R. Rivas, Geometría plana neutral, Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2021. |
Básica | M.J. Greenberg, "Euclidean and non-euclidean geometries", Freman 1974. Absys Biba |
Básica | D. Hilbert (Introd. de J.M. Sánchez Ron), "Fundamentos de la Geometría", Tex. Univ. 5. C.S.I.C. 1996 Absys Biba |
Básica | H. Eves, "Estudio de las Geometrías I, II", UTEHA, 1969. Absys Biba |
Básica | H.S. M. Coxeter, "Fundamentos de Geometría ", De Limusa-Wiley, Mexico, 1971. Absys Biba |
Básica | R. Bonola, "Non-euclidean Geometry", Dover Publications, Inc., New York, 1955. Absys Biba |