Un problema crucial en álgebra ha sido resolver ecuaciones polinómicas. Pensando en la ecuación polinómica determinada por un polinomio en una variable, son conocidas desde hace 3.600 años (en la edad de piedra) las soluciones de la ecuación determinada por un polinomio de grado 2. Vienen dadas por la fórmula que todos conocemos. Hay también una fórmula para la de grado 3, pero hubo que esperar hasta el siglo XVI para obtenerla (se debe a Scipio di Ferro y a Nicolo Fontana, apodado Tartaglia ). Y también para la de grado 4, que se debe a Ludovico Ferrari, obtenida en el mismo siglo. No hay sin embargo una fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación polinómica en una variable de grado mayor que 4. Tras innumerables esfuerzos de grandes matemáticos, tales como Leibniz, Euler, Bézout, Lagrange, Ruffini, Abel o Kronecker, para encontrar una fórmula como las conocidas, o demostrar que tal fórmula no existe, fue Evariste Galois quien con 21 años resolvió en problema dando razón exacta de qué ecuaciones concretas tenían una fórmula y cuáles no, y por qué las ecuaciones generales a partir de la de grado 4 no tenían solución. Su teoría estuvo perdida en el olvido hasta que Liouville la rescató den 1843.
Algo muy notable de ella es que dio lugar a la aparición de dos campos del álgebra hoy en día considerados básicos: la teoría de grupos y la de cuerpos. Sus implicaciones son muy numerosas. Los cuerpos finitos, por ejemplo, son fundamentales en teoría de la información, tanto en la teoría de códigos como en criptografía.
En la formación de un matemático está considerado como algo indispensable en su formación el conocer los conceptos de algebraico y trascendente y también un mínimo conocimiento de la estructura de cuerpo.
