Análisis complejo
GUÍA DOCENTE Curso 2025-26
| Titulación: | Grado en Matemáticas | 701G |
| Asignatura: | Análisis complejo | 415 |
| Materia: | Análisis Matemático |
| Módulo: | Análisis Matemático |
| Modalidad de enseñanza de la titulación: | Presencial | Carácter: | Obligatoria |
| Curso: | 3 | Créditos ECTS: | 6,00 | Duración: | Semestral (Segundo semestre) |
| Horas presenciales: | 60,00 | Horas estimadas de trabajo autónomo: | 90,00 |
| Idiomas en que se imparte la asignatura: | Español |
| Idiomas del material de lectura o audiovisual: | Inglés, Español |
Departamentos responsables de la docencia
| MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN | R111 |
| Dirección: | C/ Madre de Dios, 53 | Código postal: | 26006 |
| Localidad: | Logroño | Provincia: | La Rioja |
| Teléfono: | 941299452 | Fax: | 941299460 | Correo electrónico: | dpto.dmc@unirioja.es |
Profesorado previsto
| Profesor: | Mínguez Ceniceros, Judit | Responsable de la asignatura |
| Teléfono: | 941299682 | Correo electrónico: | judit.minguez@unirioja.es |
| Despacho: | 3226 | Edificio: | CENTRO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO | Tutorías: | Consultar |
Descripción de los contenidos
- Números complejos y funciones de variable compleja.
- Funciones holormorfas. Derivabilidad de funciones de variable compleja.
- Funciones analíticas. Series de potencias. Principio de prolongación analítica.
- Funciones elementales de variable compleja.
- Integración compleja. Teoría de Cauchy.
- Ceros y singularidades. Series de Laurent.
- Teorema de los residuos y aplicaciones.
Requisitos previos de conocimientos y competencias para poder cursar con éxito la asignatura
Recomendados para poder superar la asignatura.
Se aconseja conocer técnicas básicas de análisis matemático en un variable real y derivación e integración de funciones de varias variables.
Asignaturas que proporcionan los conocimientos y competencias:
- Análisis de una variable real
- Cálculo diferencial en varias variables
- Cálculo integral en varias variables
Contexto
En asignaturas previas (Cálculo Infinitesimal, Álgebra Lineal, Ecuaciones Diferenciales, Estructuras Algebraicas) han aparecido ya los números complejos, fundamentalmente en el contexto algebraico, el que dio origen a su concepción en la época del Renacimiento (motivada por la resolución de ecuaciones polinómicas).
La relevancia de los números complejos en el Análisis Matemático se hizo patente mucho tiempo después, en los siglos XVIII y XIX. En la asignatura de Análisis Complejo se estudian los fundamentos de la Teoría de Funciones de una Variable Compleja.
Si combinamos la aritmética de los números complejos con su interpretación geométrica (como los puntos del plano), y estudiamos las funciones de una variable compleja y valores complejos de forma análoga a como sabemos en el caso real (a partir de la definición de derivada, estudiada ya en Cálculo Infinitesimal) resulta una teoría de funciones que en ciertos sentidos es más simple y más bonita que la de variable real.
En el desarrollo de la asignatura es básico comprender el significado que adquieren las series de potencias (ya estudiadas con valores reales), con lo que de paso se clarifica el conocimiento de las funciones trigonométricas, logarítmica y exponencial. El objetivo final del programa es sin embargo el estudio de la integral a lo largo de curvas, con los teoremas de Cauchy y de los residuos, para entender cómo el esfuerzo de ampliar horizontes y considerar valores complejos permite resolver problemas de Análisis Real que de otra forma no sabemos abordar.
Competencias
Competencias generales
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
Competencias específicas
Resultados del aprendizaje
- Habilidad en el trabajo con números complejos.
- Conocer la derivación compleja y las funciones holomorfas.
- Conocer las series de potencias, las series de Laurent y las funciones analíticas.
- Conocer la integración compleja y la teoría de Cauchy.
- Aplicar el teorema de los residuos al cálculo de integrales.
Temario
- Tema 1 Números complejos.
- Números complejos.
- Topología en C.
- Tema 2 Funciones complejas. Continuidad y derivabilidad.
- Funciones complejas de variable compleja. Límites y continuidad.
- Derivabilidad
- Condiciones de Cauchy-Riemann.
- Funciones holomorfas.
- Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.
- Tema 3. Series de potencias. Funciones analíticas:
- Series de potencias.
- Funciones analíticas.
- Principio de prolongación analítica.
- Tema 4. Funciones elementales.
- Función exponencial.
- Funciones seno y coseno.
- Funciones hiperbólicas.
- Determinaciones del argumento y del logaritmo.
- Funciones potenciales y exponenciales.
- Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas.
- Tema 5. Integración sobre caminos.
- Caminos.
- Integración sobre caminos.
- Primitivas.
- Construcción de funciones analíticas.
- Logaritmo en caminos.
- Índice de un punto respecto a un camino cerrado.
- Tema 6. Teoría local y global de Cauchy.
- Teorema y fórmula local de Cauchy.
- Consecuencias de la fórmula de Cauchy.
- Teoría global de Cauchy.
- Conexión simple.
- Tema 7. Ceros y singularidades. Series de Laurent.
- Ceros de una función holomorfa.
- Singularidades aisladas.
- Funciones meromorfas.
- Singularidades en el infinito.
- Series de Laurent.
- Tema 8. Teorema de los residuos y aplicaciones.
- Residuos.
- El teorema de los residuos.
- Aplicaciones del teorema de los residuos al cálculo de integrales.
- Aplicación del teorema de los residuos a la suma de series.
- Aplicación del teorema de los residuos a la localización de ceros.
- Valores locales de una función.
- Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa.
Bibliografía
| Tipo: | Título |
| Básica | An introduction to complex function theory / Bruce P. Palka-- New York [etc.] : Springer-Verlag, 1991 Biba |
| Básica | The Cauchy method of residues : theory and applications / D. S. Mitrinovic, J. D. Keckic -- Dordrecht : D. Reidel Publishing Company, c1984 Biba |
| Básica | An introduction to classical complex analysis / Robert B. Burckel-- Stuttgart : Birkhäuser Verlag Basel, 1979 Biba |
| Básica | Complex Analysis: an Invitation / Rao, M., Stekær, H. -- World Scientific, 1991 |
| Básica | Complex analysis / Theodore W. Gamelin-- New York [etc.] : Springer, 2001
Biba |
| Básica | Funciones de variable compleja : breve exposición del material teórico y problemas con soluciones detalladas / M. L. Krasnov, A. I. Kiseliov, G. I. Makárenko-- Moscú : URSS, 2005 Biba |
| Básica | Introduction to complex analysis / H. A. Priestley-- 2nd ed-- New York : Oxford University Press, 2003 Biba |
| Básica | Problems and solutions for complex analysis / R. Shakarchi, S. Lang-- New York : Springer-Verlag, cop. 1999 Biba |
| Básica | Variable compleja : un curso práctico / D. Pestana, J.M. Rodríguez, F. Marcellán -- Madrid : Síntesis, D.L. 1999 Biba |
| Básica | Variable compleja y aplicaciones / J. W. Brown, R. V. Churchill -- 7ª ed-- Aravaca (Madrid) : McGraw-Hill, Interamericana de España, 2004 Biba |
| Básica | Complex variables with applications, A. David Wunsch |
| Complementaria | Visual complex analysis / Tristan Needham -- Oxford: Clarendon Press, 1997 Biba |
| Complementaria | Análisis real y complejo / Walter Rudin -- Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D.L. 1987 Biba |
| Complementaria | An imaginary tale: the story of $\sqrt{-1}$, Princenton University Press, Princeton, 1998 |
Metodología
Modalidades organizativas
Clases teóricas
Seminarios y talleres
Estudio y trabajo autónomo individual
Métodos de enseñanza
Método expositivo - Lección magistral
Resolución de ejercicios y problemas
Aprendizaje basado en problemas
Organización
| Actividades presenciales | Tamaño de grupo | Horas |
| Clases prácticas de aula | Reducido | 20,00 |
| Clases teóricas | Grande | 40,00 |
| Total de horas presenciales | 60,00 |
| Trabajo autónomo del estudiante | Horas |
| Estudio autónomo individual o en grupo | 50,00 |
| Resolución individual de ejercicios, cuestiones u otros trabajos, actividades en biblioteca o simi | 40,00 |
| Total de horas de trabajo autónomo | 90,00 |
Evaluación
| Sistema de evaluación | Recuperable | No Recup. |
| Pruebas escritas | 85% | |
| Pruebas de ejecución de tareas reales y/o simuladas | 15% | |
| Total | 100% |
Comentarios
- La evaluación continua (15 %) se realizará mediante los sistemas de pruebas de ejecución de tareas reales y/o simuladas, que se harán a lo largo del semestre.
- Se realizarán una prueba de ejecución de tareas reales y/o simuladas a lo largo del semestre, que consistirán en la realización y entrega de problemas en el aula.
- La nota final de la asignatura será el máximo entre 1. y 2., donde:
- 15% de la prueba parcial y 85% del examen final.
- 100% del examen final.
- El material didáctico (ejercicios prácticos, cuestiones, actividades, apuntes, etc.) se encontrará disponible en el aula virtual para todos los alumnos matriculados en esta asignatura.
Versión: 29/07/2026 14:12:00 - G 2025-26 - 701G - 415 - Impresión: 08/08/2026 18:08:37
