Teoría de números y criptografía
GUÍA DOCENTE    Curso 2025-26

- Aproximación de un número real por racionales, fracciones continuas. Irracionalidad y trascendencia.
- Congruencias lineales y no lineales, residuos cuadráticos. Ecuaciones diofánticas.
- Funciones aritméticas y multiplicativas.
- Distribución de números primos.
- Criptografía clásica. El sistema RSA y la factorización. Otros criptosistemas de clave pública. Sistemas con firma. Funciones de una dirección. Distribución de claves y acuerdo de claves. Criptografía asimétrica.

La teoría de números, que ha sido uno de los motores principales de las matemáticas durante más de dos milenios. En esta asignatura, introduciremos algunas de las cuestiones más relevantes de esta rama de las matemáticas. Además, estudiaremos criptografía, una moderna aplicación de la teoría de números que es causa de que, en el contexto del mundo tecnológico actual, la teoría de números tenga una importancia práctica indiscutible.

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 6. Relacionar el conocimiento especializado de Matemáticas con el conocimiento general en el que se inserta y con las herramientas que utiliza cuando se aplica en diversas opciones profesionales, especialmente en el marco de las TIC.
CG 7. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos de la realidad observada y de otros ámbitos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, comprobando la aplicabilidad de las Matemáticas.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

- Comprender distintos aspectos de la teoría de números analítica y algebraica, así como sus aplicaciones para resolver diferentes problemas en matemáticas.

- Conocer las aplicaciones de la teoría de números en la transmisión de información de manera segura. Entender el desarrollo de la criptografía desde sus comienzos hasta ahora, y los diversos objetivos alcanzados y problemas que surgen.

A cada alumno se le propondrán varios problemas para resolver de manera individual. Exponiendo en clase o entregando las soluciones (evaluación continua que en este formulario aparece descrita como "Pruebas de ejecución de tareas reales y/o simulada"), se podrá sacar un 5. Para obtener más nota, habrá que acudir al examen final, que no es obligatorio.

La calificación de la asignatura entre cero y diez, de modo que se supera la asignatura con un cinco, se calcula del siguiente modo.

Obsérvese que N(5,y) es superior a 5 para todo y (incluido y=0), luego el examen final no es obligatorio.

Además N(x,10) = 10 para cualquier x, luego incluso renunciando a la evaluación continua se puede obtener un 10 en la asignatura.