Geometrías no euclídeas
GUÍA DOCENTE    Curso 2025-26

I.- EL DESCUBRIMIENTO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
II.- PLANO EUCLÍDEO Y SU AMPLIACIÓN PROYECTIVA
III.- PLANO INVERSIVO. AMPLIACIÓN DEL PLANO EUCLÍDEO POR UN PUNTO
IV.- PLANO PROYECTIVO Y SECCIONES CÓNICAS
V.- FUNDAMENTACIÓN AXIOMÁTICA PARA LA GEOMETRÍA PLANA
VI.- EL PLANO HIPERBÓLICO
VII.- LA ESFERA DE RADIO IMAGINARIO

Se aconseja que el alumno tenga conocimientos básicos sobre:

- Lógica (competencia en deducción).

- Matemática discreta (competencia en el manejo de conjuntos, operaciones y aplicaciones entre ellos).

- Geometría afín y euclídea (competencia suficiente en el manejo de técnicas matemáticas para describir nociones como paralelismo y medida de segmentos y ángulos).

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

- Conocerá sistemas axiomáticos para la geometría y sus propiedades
- Manejará con habilidad el plano y espacio proyectivos reales y los teoremas clásicos sobre sus elementos
- Conocerá las transformaciones proyectivas como herramientas para la resolución de problemas de incidencia, paralelismo, cónicas, etc.
- Manejará el plano inversivo de Gauss y transformaciones como la inversión para la resolución de problemas geométricos
- Conocerá las propiedades comunes de las geometrías elíptica, parabólica e hiperbólica
- Aprenderá el papel fundamental del axioma de las paralelas (o equivalentes) como punto de bifurcación entre la geometría euclídea e hiperbólica
- Conocerá la construcción de los números reales a partir de los axiomas geométricos.
- Entenderá los orígenes geométricos de la teoría de la medida y del concepto del límite.
- Conocerá la descripción de la función exponencial como consecuencia de los axiomas geométricos
- Manejará los elementos básicos de las trigonometrías euclídea, hiperbólica y esférica
- Conocerá los modelos de Klein y Poincaré para la geometría hiperbólica
- Habrá adquirido una visión histórica de las matemáticas y las relaciones entre geometría y otras disciplinas como álgebra, análisis matemático, topología, teoría de números, lógica, etc
- Adquirirá una formación básica pero muy sólida para poder abordar posteriores retos de formación matemática: Los conocimientos y técnicas adquiridos son pilares fundamentales para posteriores estudios en Geometría Algebráica, Geometría Riemannniana, Superficies de Riemann, Topología Algebraica, Topología Geométrica y otras teorías geométrico-topológicas no incluidas en los estudios de Grado en Matemáticas de la Universidad de La Rioja

1) Se propondrá la realización de un trabajo sobre temas relacionados con la asignatura. Este trabajo tienen carácter no recuperable y una ponderación del 25%

2) La Técnicas de observación se basan en la asistencia a las clases que se considerará como un prueba de evaluacion no recuperable con una ponderación del 10%.

3) Las pruebas escritas consistirán en la solución de cuestiones teórico-practicas por los alumnos. Esta pruebas son recuperables y tienen una ponderación del 65%.

Para superar la asignatura la calificación final debe ser superior o igual a 5