Universidad de La Rioja

Análisis de una variable real
GUÍA DOCENTE    Curso 2025-26

 English FriendlyThis is an English Friendly course. It is taught in Spanish, but offers support and mentoring in English.
Students also have the posibility to take exams in English upon request.		 

Titulación:Grado en Matemáticas701G
Asignatura:Análisis de una variable real801
Materia:Matemáticas
Módulo:Análisis Matemático
Modalidad de enseñanza de la titulación:PresencialCarácter:Básica
Curso:1Créditos ECTS:6,00Duración:Semestral (Segundo semestre)
Horas presenciales:60,00Horas estimadas de trabajo autónomo:90,00
Idiomas en que se imparte la asignatura:Español
Idiomas del material de lectura o audiovisual:Inglés, Español

Departamentos responsables de la docencia

MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓNR111
Dirección:C/ Madre de Dios, 53Código postal:26006
Localidad:LogroñoProvincia:La Rioja
Teléfono:941299452Fax:941299460Correo electrónico:dpto.dmc@unirioja.es

Profesorado previsto

Profesor:Arenas Gómez, AlbertoResponsable de la asignatura
Teléfono:941299615Correo electrónico:alberto.arenas@unirioja.es
Despacho:D3237Edificio:CENTRO CIENTÍFICO TECNOLÓGICOTutorías:Consultar

Descripción de los contenidos

- Definición y teoremas básicos sobre límites y continuidad de funciones en una variable real. Continuidad uniforme.
- Definición y teoremas básicos sobre derivación de funciones de una variable real.
- Integrabilidad de funciones en sentido Darboux y en sentido de Riemann. Teorema fundamental del cálculo integral.
- Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme. Series de potencias.

Requisitos previos de conocimientos y competencias para poder cursar con éxito la asignatura

Recomendados para poder superar la asignatura.

Se aconseja conocer técnicas de cálculo diferencial e integral en una variable real.
Asignaturas que proporcionan los conocimientos y competencias:

Competencias

Competencias generales

CG1: Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG2: Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG3: Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG4: Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG5: Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG8: Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

Competencias específicas

Resultados del aprendizaje

- Manipular desigualdades.
- Comprender y manejar los conceptos de límite, de continuidad y de convergencia uniforme.
- Comprender y aplicar los teoremas de Bolzano y de Weierstrass.
- Comprender y aplicar los teoremas de Rolle, de Taylor y de L'Hopital.
- Comprender el concepto de integral de Riemann y de integral Darboux.
- Comprender y aplicar el teorema fundamental del cálculo integral.
- Manipular series de potencias y expresar funciones a través de ellas.

Objetivos de desarrollo sostenible

Objetivos de Desarrollo sostenible4 Educación de calidad.

Temario

  1. La construcción de los números.
    1. Algunas cuestiones introductorias.
    2. Los números naturales, enteros y racionales.
    3. Los números reales.
  2. Sucesiones y series.
    1. Sucesiones y límites de sucesiones.
    2. Las funciones exponencial y logaritmo.
    3. Sobre el cálculo de algunos límites.
    4. Convergencia de sucesiones deducidas por transformaciones lineales de otras.
    5. Subsucesiones y sucesiones de Cauchy.
    6. Límites infinitos.
    7. Límite superior y límite inferior de una sucesión.
    8. Límites de sucesiones y funciones elementales.
    9. Series numéricas.
  3. Continuidad.
    1. Límites de funciones reales de una variable real.
    2. Funciones continuas.
    3. Dos resultados globales.
    4. Monotonía. Función inversa.
    5. Continuidad uniforme.
  4. Derivación.
    1. Concepto de derivada.
    2. Cálculo de derivadas.
    3. Teoremas básicos sobre derivación.
    4. Aproximación polinómica local
    5. Extremos relativos. Concavidad y convexidad.
  5. Integración.
    1. Definición de Darboux de la integral de Riemann.
    2. Integrabilidad en el sentido de Riemann.
    3. Propiedades básicas de la integral de Riemann.
    4. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
    5. Integrales impropias de Riemann.
    6. Aplicaciones geométricas del cálculo integral.
  6. Series de potencias
    1. Sucesiones y series funcionales.
    2. Convergencia uniforme
    3. Series de potencias

Bibliografía

Tipo:Título
BásicaFernández, E., Apuntes de análisis I [Recurso electrónico], Univ. de La Rioja, Logroño, 2023. Absys Biba
BásicaFernández, E., Apuntes de Análisis I, Univ. de La Rioja, Logroño, 2003. Absys Biba
Básicade Guzman, M. y Rubio, B., Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático, Pirámide, Madrid, 1990-1993. Absys Biba
BásicaGaughan, E., Introducción al análisis, Ed. Alhambra, Madrid, 1972. Absys Biba
BásicaArregui, J.L. y otros, Teoría de funciones de una variable real, Prensas Universitarias de Zaragoza, Zaragoza, 2009. Absys Biba
ComplementariaSpivak, M., Calculus (segunda edición), Reverte, Barcelona, 1990. Absys Biba
ComplementariaRudin, W., Principios de Análisis Matemático (segunda edición), Castillo, Madrid, 1976. Absys Biba
ComplementariaApostol, T. M., Análisis Matemático, (segunda edición), Reverté, Barcelona, 2006. Absys Biba
ComplementariaKlambauer, G., Aspects of Calculus, Springer, Berlín, 1986 Absys Biba
ComplementariaHairer, E., Analysis by its history, Springer-Verlag, New York, 1996 Absys Biba
Recursos en Internet

Metodología

Modalidades organizativas

Clases teóricas
Seminarios y talleres
Clases prácticas
Estudio y trabajo autónomo individual

Métodos de enseñanza

Método expositivo - Lección magistral
Resolución de ejercicios y problemas
Aprendizaje basado en problemas

Organización

Actividades presencialesTamaño de grupoHoras
Clases prácticasReducido18,00
Clases prácticas de laboratorio o aula informáticaInformática2,00
Clases teóricasGrande40,00
Total de horas presenciales60,00
Trabajo autónomo del estudianteHoras
Estudio autónomo individual o en grupo-
Otras actividades-
Preparación de las prácticas y elaboración de cuaderno de prácticas-
Preparación en grupo de trabajos, presentaciones (orales, debates, ...), actividades en biblioteca-
Resolución individual de ejercicios, cuestiones u otros trabajos, actidades en biblioteca o similar-
Total de horas de trabajo autónomo90,00
Total de horas150,00

Evaluación

Sistema de evaluaciónRecuperableNo Recup.
Pruebas escritas100%
Total100%

Comentarios

Como parte de la evaluación continua, se realizará una prueba escrita a lo largo del curso. La nota final de la asignatura será el máximo entre 1 y 2, donde
  1. 25% de la prueba parcial + 75% de la prueba final.
  2. 100% de la prueba final.

Versión: 29/07/2026 14:16:16 - G 2025-26 - 701G - 801 - Impresión: 08/08/2026 18:00:48