Introducción al cálculo : problemas y ejercicios resueltos / José Ramón Franco Brañas.

AUTOR: José Ramón Franco Brañas
ISBN: 8420536768
IDIOMA: spa
PÁGINAS: XIII, 304
AÑO: 2003

 
   
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Cálculo Infinitesimal
 
INDICE

PRÓLOGO XI
SÍMBOLOS Y EXPRESIONES XIII
CAPÍTULO 1. EL NÚMERO REAL 1
1.1. Introducción 1
1.2. El conjunto de los números racionales 2
1.3. Forma decimal de un número racional 3
1.4. Segmentos conmensurables 4
1.5. El método de inducción 5
1.6. Numerabilidad 6
1.7. Propiedades algebraicas de R 7
1.8. El orden en R 8
1.9. Densidad de los números racionales en 10
1.10. Valor absoluto de un número real 10
1.11. Intervalos de IR 11
1.12. Postulado de Cantor 12
1.13. Cotas. 12
1.14. Completitud de I 12
1.15. Propiedad arquimediana de R 12
1.16. Entorno de un punto 13
1.17. Puntos interiores, de acumulación, aislados, adherentes y frontera 13
1.18. Conjuntos abiertos y cerrados 14
Problemas resueltos 14
Problemas propuestos 19
CAPÍTULO 2. EL NÚ RO CO LEJO 23
2.1. La unidad imaginaria 23
2.2. El número complejo 24
2.3. Operaciones con números complejos 24
2.4. Representación gráfica de un complejo 25
2.5. Módulo y argumento de un complejo 25
2.6. Propiedades del módulo 26
2.7. Forma polar y trigonométrica de un complejo 26
2.8. Producto y cociente de complejos en forma polar 26
2.9. Potencia de un número complejo en forma polar 27
2.10. Raíces n-ésimas de un número complejo 27
2.11. Fórmula de Euler 27
2.12. Logaritmo de un número complejo 28
2.13. Las funciones hiperbólicas 29
2.14. Relación entre las funciones circulares y las hiperbólicas 30
Problemas resueltos 30
Problemas propuestos 35
CAPÍTULO 3. SUCESIONES 37
3.1. Definiciones. 37
3.2. Límite de una sucesión 38
3.3. Sucesiones divergentes 39
3.4. Clasificación de las sucesiones 39
3.5. Operaciones con sucesiones 39
3.6. Propiedades de los límites 40
3.7. Operaciones con sucesiones divergentes 40
3.8. Cálculo de límites 41
3.9. Órdenes de infinitud para n ----> Do 42
3.10. El número e 42
3.11. Aplicaciones del número e 43
3.12. Sucesiones de Cauchy 44
Problemas resueltos 44
Problemas propuestos 51
CAPÍTULO 4. SERIES NUMÉRICAS 53
4.1. Concepto de serie 53
4.2. Series convergentes 54
4.3. Series divergentes 54
4.4. Criterio general de convergencia 54
4.5. Serie armónica 55
4.6. Serie geométrica 55
4.7. Series de términos positivos 55
4.8. Suma de una serie 58
4.9. Convergencia de series alternadas 59
4.10. Suma de dos series 60
Problemas resueltos 61
Problemas propuestos 71
CAPÍTULO 5. LÍMITE Y CONTINUMAL') DE UNA FUNCIÓN 73
5.1. Introducción 73
5.2. Tipos de funciones 74
5.3. Suma, producto y cociente de dos funciones 74
5.4. Composición de funciones 74
5.5. Función inversa 75
5.6. Límite de una función 75
5.7. Propiedades de los límites 76
5.8. Función continua 76
5.9. Tipos de discontinuidad 77
5.10. Crecimiento y decrecimiento 78
5.11. Máximo y mínimo de una función. Acotación 79
5.12. Continuidad uniforme 81
5.13. Infinitésimos 81
Problemas resueltos 82
Problemas propuestos 91
CAPÍTULO 6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 95
6.1. Concepto de derivada 95
6.2. Derivada de una función constante 96
6.3. Derivada de la función f (x) x 97
6.4. Derivada de la suma de dos funciones 97
6.5. Derivada del producto de dos funciones 97
6.6. Derivada de k • f (x) 97
6.7. Derivada de g(x) 97
6.8. Derivada del cociente de dos funciones 98
6.9. Derivada de f n 98
6.10. Derivada de las funciones hiperbólicas 98
6.11. Regla de la cadena 98
6.12. Derivación implícita 99
6.13. Derivadas laterales 99
6.14. Relación entre derivabilidad y continuidad 100
6.15. Diferencial de una función 101
6.16. Teoremas sobre derivabilidad 102
6.17. Crecimiento y decrecimiento 104
6.18. Máximos y mínimos 104
6.19. Concavidad y convexidad 105
6.20. Puntos de inflexión 105
6.21. Representación gráfica de y = f (x) 106
Problemas resueltos 107
Problemas propuestos 124
CAPÍTULO 7. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN 131
7.1. Desarrollo de un polinomio en potencias de x — a 131
7.2. Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin 132
Problemas resueltos 133
Problemas propuestos 139
CAPÍTULO 8. LA INTEGRAL INDEKLNIDA 141
8.1. Introducción 141
8.2. Propiedades elementales 142
8.3. Tabla de integrales 142
8.4. Integración por sustitución 143
8.5. Integración por partes 143
8.6. Integración de funciones racionales 143
8.7. Método de Hermite 144
8.8. Integración de funciones racionales trigonométricas 145
8.9. Integrales irracionales 145
8.10. Integrales binomias 145
Problemas resueltos 146
Problemas propuestos 151
CAPÍTULO 9. LA INTEGRAL DEFINIDA 155
9.1. El área bajo una función f (x) 155
9.2. El área y la integral 156
9.3. Propiedades de la integral definida 158
9.4. Teorema del valor medio 158
9.5. Cambio de variable en una integral definida 158
9.6. Volumen de revolución 159
9.7. Longitud de un arco 159
9.8. Área de la superficie de revolución 160
9.9. Volumen de un sólido de sección conocida 161
Problemas resueltos 161
Problemas propuestos 171
CAPÍTULO 10. INTEGRALES IMPROPIAS 173
10.1. Cálculo de integrales impropias 173
10.2. La función gamma F (p) 175
10.3. Propiedades de la función I" (p) 175
10.4. Gráfica de la función (p) 177
10.5. La función beta B(p, q) 178
10.6. Propiedades de la función B(p, q) 178
Problemas resueltos 179
Problemas propuestos 183
CAPÍTULO 11. FUNCIONES DE DOS VARIABLES 185
11.1. Función de dos variables 185
11.2. Gráfica de una función de dos variables 186
11.3. Funciones notables 187
11.4. Entorno de un punto 189
11.5. Límite de una función 189
11.6. Propiedades de los límites 192
11.7. Continuidad de una función 192
11.8. Propiedades de las funciones continuas 193
11.9. Derivadas parciales 193
11.10. Diferencial total 195
11.11. Máximos y mínimos 196
11.12. Método de los multiplicadores de Lagrange 197
Problemas resueltos 197
Problemas propuestos 206
CAPÍTULO 12. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 209
12.1. La integral doble 209
12.2. Cálculo de la integral doble 211
12.3. Cambios de variable 212
12.4. La integral triple 212
12.5. Cálculo de la integral triple 213
12.6. Coordenadas cilíndricas y esféricas 213
12.7. Cambios de variable. 215
Problemas resueltos 216
Problemas propuestos 227
CAPÍTULO 13. ECUACIONES DIFERENCIALES 229
13.1. Introducción 229
13.2. Teorema de existencia y unicidad 230
13.3. Ecuación diferencial de variables separadas 230
13.4. Ecuación diferencial de variables separables 231
13.5. Ecuaciones diferenciales homogéneas 231
13.6. Ecuaciones diferenciales exactas 232
13.7. Ecuaciones diferenciales de factor integrante 233
13.8. Ecuación lineal 233
13.9. Ecuación de Bernouilli 233
13.10. Trayectorias ortogonales 234
13.11. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 234
Problemas resueltos 236
Problemas propuestos 242
CAPÍTULO 14. MÉTODOS NUMÉRICOS 243
14.1. Error absoluto y relativo 243
14.2. Aritméticas de punto fijo y punto flotante 243
14.3. Interpolación 245
14.4. Resolución de ecuaciones 246
14.5. Resolución de sistemas de ecuaciones 248
14.6. Integración numérica 254
14.7. Resolución numérica de la e. d. y' = f (x, y) 255
Problemas resueltos 256
Problemas propuestos 268
APÉNDICE: FORMULARIO 271
A.1. Áreas y volúmenes 271
A.2. Logaritmos 271
A.3. Progresiones 272
A.4. Trigonometría 274
A.5. Funciones hiperbólicas 278
A.6. Combinatoria 278
A.7. Geometría analítica plana 279
A.8. Vectores en R3 280
A.9. Geometría analítica en R3 281
A.10. Cónicas 282
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 285
BIBLIOGRAFÍA 299