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RESUMEN
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Como en toda labor docente, nuestra intención es la de mejorar día a día en el complejo proceso de la enseñanza. Uno de los principales objetivos de este libro es el de contribuir a una de las ideas que llevamos desarrollando en nuestra docencia: la diversificación de los puntos de apoyo y motivación del aprendizaje. No compartimos la idea de la centralización de este proceso en el profesor, sino más bien la de que éste sea catalizador de nuevos frentes de actuación. Entre ellos destacamos1. Prácticas con ordenador (vea la bibliografía). 2. Sesiones en el laboratorio. 3. Acceso del alumno al esqueleto teórico de la asignatura: definiciones y resultados. 4. Acceso del alumno a una amplia gama de problemas resueltos con todo detalle así como propuestos. Llevamos realizando los dos primeros puntos desde hace varios años y, con este libro, esperamos cumplir con los dos últimos. El libro abarca un alto porcentaje de la materia que se imparte en la asignatura de Álgebra y similares en los primeros cursos de las carreras técnicas y la totalidad de la que impartimos actualmente. Hemos pretendido seguir un orden lógico en la exposición de los temas, de forma que el alumno tenga una visión coherente y aplicada de los contenidos. Cada capítulo está dividido en tres partes: 1. Resultados teóricos: se exponen conceptos, definiciones y resultados teóricos que servirán de base para la correcta realización de los ejercicios. 2. Ejercicios resueltos: parte principal del libro donde se resuelven con todo detalle una gran cantidad de ejercicios/problemas. El nivel varía desde los de simple aplicación de la definición hasta los más laboriosos. Siempre con la intención de que el alumno sea capaz de extraer un modelo a repetir para la resolución de problemas concretos, sin olvidar por tanto, a los alumnos a los que está dirigido el libro, y de crear modelos nuevos de resolución para futuros problemas. 3. Ejercicios propuestos: colección de problemas de nivel similar a los resueltos en la sección anterior. Esta división de cada capítulo no excluye que, en ocasiones, se aprendan conceptos avanzados durante la resolución de algún ejercicio o en alguno propuesto. Evidentemente es en la parte práctica donde el alumno aprende las técnicas necesarias para resolver problemas, que con sólo la parte teórica sería prácticamente imposible. Hemos introducido también problemas/cuestiones, algunos de ellos tipo test, para que el alumno no separe la teoría/conceptos de su aprendizaje práctico. Conviene comentar que en algunos problemas (los menos) hemos forzado el enunciado para que el alumno se sienta tentado a usar la ayuda de algún software informático, ya que no hemos querido pasar por alto la realidad actual y lo extendido del uso del ordenador. El libro es para el alumno. No negamos la tentación que tuvimos al comienzo de escribir un extenso libro de teoría y problemas. No obstante, no sólo ya existen numerosos libros de esas características, que citaremos en la bibliografía, sino que creemos que al final se extienden sobremanera en la parte teórica, dejando casi de lado la parte práctica. Por otro lado, resulta evidente lo deficiente que sería un libro escrito exclusivamente con ejercicios resueltos. Estamos convencidos, quizá por experiencia propia, de que el disponer de un material que posea resúmenes teóricos con numerosos ejercicios resueltos facilitará la libertad, y por tanto la creatividad y participación, en cada una de las clases presenciales. Esperamos que se cumplan los objetivos expuestos y que el alumno adquiera una buena base algebraica, tanto teórica como técnica, tan imprescindible en su formación científica. Es el momento de agradecer la ayuda en las correcciones, y sobre todo las sugerencias, críticas y comentarios del profesor Cándido Martín González que han beneficiado sobremanera al resultado final del libro. Como dato técnico, hemos preparado el libro con LaTeX2e y los gráficos, y verificación de resultados, con Mathemati |
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INDICE
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Capítulo 1. Conjuntos. Relaciones Binarias. Aplicaciones1.1. Resultados teóricos
Conjuntos
Relaciones binarias
Principio de Inducción
Aplicaciones
1.2. Ejercicios resueltos
1.3. Ejercicios propuestos
Capítulo 2. Estructuras algebraicas
2.1. Resultados teóricos
Operación interna
Elementos particulares
Operación inducida
Operación externa
Homomorfismos
Grupos
Anillos y cuerpos
El anillo de los enteros
2.2. Ejercicios resueltos
2.3. Ejercicios propuestos
Capítulo 3. Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales
3.1. Resultados teóricos
Independencia lineal. Bases
Subespacio vectorial
Espacio vectorial cociente
Cambio de base
Aplicaciones lineales
Matriz de una aplicación lineal
Matriz de una composición
Cambio de base en aplicaciones lineales
Núcleo e imagen de una aplicación lineal
Espacio vectorial dual
Matrices y determinantes
Sistemas de ecuaciones lineales
3.2. Ejercicios resueltos
3.3. Ejercicios propuestos
Capítulo 4. Diagonalización de endomorfismos
4.1. Resultados teóricos
Diagonalización
Forma canónica de Jordan
Exponencial de una matriz
4.2. Ejercicios resueltos
4.3. Ejercicios propuestos
Capítulo 5. Formas bilineales y cuadráticas
5.1. Resultados teóricos
Formas bilineales
Perpendicularidad u ortogonalidad
Dimensión finita: matriz de una forma bilineal
Bases ortogonales
Formas bilineales simétricas
Formas cuadráticas
Dimensión finita: matriz de una forma cuadrática
Isometrías
Transformaciones ortogonales en R2 y R3
Formas hermíticas
Dimensión finita: matriz de una forma hermitica
Espacios vectoriales euclídeos y unitarios
Producto escalar
5.2. Ejercicios resueltos
5.3. Ejercicios propuestos
Capítulo 6. Espacios afines. Movimientos
6.1. Resultados teóricos
Espacios afines
Transformaciones afines y afinidades
Matrices
Transformaciones ortogonales y movimientos
Orientación
Movimientos en el plano afín euclídeo
Métodos Matemáticos: Álgebra lineal y Geometría
Movimientos en el espacio afín euclídeo
6.2. Ejercicios resueltos
6.3. Ejercicios propuestos
Capítulo 7. Cónicas y cuádricas
7.1. Resultados teóricos
Estudio afín de las cónicas
Estudio afín de las cuádricas
7.2. Ejercicios resueltos
7.3. Ejercicios propuestos
Bibliografía
Índice de Materias
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